如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a（1）求直线BC1与AC所成的角；（2）求直线D1B与平面ABCD所成角的正

Question

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a（1）求直线BC1与AC所成的角；（2）求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值；（3）求证：平面BDD1⊥平面ACA1．

Answer 1

（1）解：连接AD₁，D₁C，则
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，∴四边形ABC₁D₁是平行四边形
∴AD₁∥BC₁，
∴∠D₁AC为直线BC₁与AC所成的角，
∵△AD₁C是等边三角形，
∴直线BC₁与AC所成的角为60°；
（2）解：∵DD₁⊥平面ABCD，∴∠D₁DB为直线D₁B与平面ABCD所成的角，
在Rt△D₁DB中，tan∠D₁DB=

1

2

=

2

2

∴直线D₁B与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

；
（3）证明：∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴DD₁⊥AC
∵BD⊥AC，BD∩DD₁=D
∴AC⊥平面BD₁D
∵AC?平面ACA₁，
∴平面ACA₁⊥平面BD₁D------（14分）