高中数学

Question

如何理解：在公共定义域上，奇函数乘以奇函数=偶函数 偶函数乘以偶函数=偶函数 奇函数乘以偶函数=奇函数 ？？

Answer 1

①奇函数乘以奇函数G(x)=f（x）×g（x）
∵f（x），g（x）都为奇函数
∴G（-x）=f（-x)×g(-x)=-f(x)×[-g(x)]=f（x）×g（x）=G(x）
②偶函数乘以偶函数G(x)=f（x）×g（x）
∵f（x），g（x）都为偶函数
∴G（-x）=f（-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=G(x）
③奇函数乘以偶函数G(x)=f（x）×g（x）
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
∴G（-x）=f（-x)×g(-x)=-[f（x）]×g（x）=G(x）

Answer 2

就是字面意思

x∈R
若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
则f(x)*f'(x)为偶函数
g(x)*g'(x)为偶函数
f(x)*g(x)为奇函数

Answer 3

设f(x)和g(x)是奇函数
则 f（-x）= -f（x）
g（-x）= -g（x）
f(-x)*g(-x) = -f（x）*[-g（x）] = f(x)g(x)
说明f(x)g(x)是偶函数
则 奇函数乘以奇函数=偶函数

同理可证明其他结论