等差数列前n项和公式是什么?

Question

如题所述

Answer 1

等差数列前n项和公式是：

$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$

其中，$S_n$表示前n项和，$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。

这个公式是等差数列前n项和的基本公式，它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。公式的推导过程基于等差数列的性质，即任意两项的差是常数，这个常数被称为公差。

公式的推导过程如下：

首先，我们考虑等差数列的前n项，它们可以表示为：$a_1, a_1+d, a_1+2d, ..., a_1+(n-1)d$。

然后，我们将这些项相加，得到前n项和$S_n$。

为了简化计算，我们可以将$S_n$倒序排列，得到：$a_1+(n-1)d, a_1+(n-2)d, ..., a_1+d, a_1$。

接着，我们将正序排列和倒序排列的$S_n$相加，得到：

$2S_n = [a_1 + (a_1+(n-1)d)] + [(a_1+d) + (a_1+(n-2)d)] + ... + [a_1+(n-1)d + a_1]$

由于等差数列的性质，每一对括号内的和都是$a_1 + a_n$，其中$a_n$是等差数列的第n项。

因此，$2S_n = n(a_1 + a_n)$。

最后，我们解出$S_n$，得到$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$。

由于$a_n = a_1 + (n-1)d$，所以$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$。

例如，考虑等差数列$3, 6, 9, 12, 15$，其中$a_1 = 3$，$d = 3$，$n = 5$。

使用公式$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，我们得到：

$S_5 = \frac{5}{2} (2 \times 3 + (5-1) \times 3) = \frac{5}{2} (6 + 12) = \frac{5}{2} \times 18 = 45$

所以，等差数列$3, 6, 9, 12, 15$的前5项和是45。