如何证明三角形的“四心”定理？

Question

如题所述

Answer 1

平面向量中的三角形“四心”结论：

一、“四心”定义：

(1) 重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1。

(2) 垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直。

(3) 内心：三条角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等。

(4) 外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量中的三角形四心问题：

向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（baryce nter）

三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

二、垂心（orthocenter）

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

三、外心（circumcenter）

三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

四、内心（incenter）

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。