高等数学 多元函数微分学，有一个问题就是关于二元函数的极限，是limf（x，y）下面是x趋近于x0

Question

高等数学 多元函数微分学，有一个问题就是关于二元函数的极限，是limf（x，y）下面是x趋近于x0的下面是y趋近于y0，这是定义式，现将他变形为lim〔limf（x，y）〕把x趋近于x0放到括号里面的lim下面把y趋近于y0放到括号外面的lim下面。题上说这是错的。。但是我自己想原来求极限都可以分离开来独立的求，为什么这样变形是错的，求解释！！！！！

Answer 1

多元函数的极限是不能累次求的。因为累次求的话，接近的(x0,y0)的路径是没有包含所有可能路径的。
比如f(x,y)=x^2y/(x^4+y^2)
那么lim(x→0)lim(y→0)f(x,y)=lim(y→0)lim(x→0)f(x,y)=0
现在看lim((x,y)→(0,0))f(x,y)
如果沿着y=x接近(0,0)，则f(x,y)→0
如果沿着y=x^2接近(0,0)，则f(x,y)→1/2
所以lim((x,y)→(0,0))f(x,y)不存在