如图所示，三棱柱A 1 B 1 C 1 —ABC的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角

Question

如图所示，三棱柱A 1 B 1 C 1 —ABC的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A 1 B 1 的中点． (1)求证：B 1 C∥平面AC 1 M；(2)求证：平面AC 1 M⊥平面AA 1 B 1 B.

Answer 1

(1)由三视图可知三棱柱A 1 B 1 C 1 —ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°. 连结A 1 C，设A 1 C∩AC 1 ＝O，连结MO， 由题意可知，得到MO∥B 1 C，进一步得到B 1 C∥平面AC 1 M. (2)利用已知得到C 1 M⊥A 1 B 1 ， 根据平面A 1 B 1 C 1 ⊥平面AA 1 B 1 B， 得到C 1 M⊥平面AA 1 B 1 B，达到证明目的：平面AC 1 M⊥平面AA 1 B 1 B.

试题分析： 思路分析：首先，由三视图可知三棱柱A 1 B 1 C 1 —ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形。（1）小题，为证明B 1 C∥平面AC 1 M，只需证明B 1 C平行于平面AC 1 M内的任一直线，发现、构造这样的一条直线是关键。通过连结A 1 C，并设A 1 C∩AC 1 ＝O，则MO即为这样的直线。 （2）小题，为证明“面面垂直”，须注明“线面垂直”。由等腰三角形底边的中线，发现垂直关系。 证明：(1)由三视图可知三棱柱A 1 B 1 C 1 —ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°. 连结A 1 C，设A 1 C∩AC 1 ＝O，连结MO， 由题意可知，A 1 O＝CO，A 1 M＝B 1 M， ∴MO∥B 1 C， 又MO?平面AC 1 M， B 1 C?平面AC 1 M，∴B 1 C∥平面AC 1 M. (2)∵A 1 C 1 ＝B 1 C 1 ，M为A 1 B 1 的中点， ∴C 1 M⊥A 1 B 1 ， 又平面A 1 B 1 C 1 ⊥平面AA 1 B 1 B， 平面A 1 B 1 C 1 ∩平面AA 1 B 1 B＝A 1 B 1 ， ∴C 1 M⊥平面AA 1 B 1 B，又 ，所以，平面AC 1 M⊥平面AA 1 B 1 B. 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。三视图问题，关键是理解三视图的画法规则，应用“长对正，高平齐，宽相等”，确定数据。认识几何体的几何特征，是解题的关键之一。