在三角形ABC中，角B等于60度，角BAC的平分线AD与角ACB的平分线CE相交于点O，求证：CD

Question

在三角形ABC中，角B等于60度，角BAC的平分线AD与角ACB的平分线CE相交于点O，求证：CD+AE=AE

Answer 1

证明：在AC上取点F，使AF=AE.。连接OF。
∵AE=AF ∠EAO=∠FAO AO=AO
∴⊿EAO≌⊿FAO
∴∠AEO=∠AFO
∵∠AEO=∠B+∠BCE
∴∠AFO=∠B+∠BCE
∵∠CDO=∠B+∠BAD
∴∠AFO+∠CDO=2∠B+∠BCE+∠BAD
∵∠BAC+∠B+∠BCA=180° ∠B=60°
∴∠BAC+∠BCA=120°
∴1/2∠BAC+1/2∠BCA=60°
∵∠BAD=1/2∠BAC ∠BCE=1/2∠BCA
∴∠BAD+∠BCE=60°
∴∠AFO+∠CDO=2×60°+60°=180°
∵∠AFO+∠CFO=180°
∴∠CDO=∠CFO
∵∠CDO=∠CFO ∠OCD=∠OCF OC=OC
∴⊿OCD≌⊿OCF
∴CD=CF
∵AF+CF=AC
∴AE+CD=AC

Answer 2

证明：在边AC上作一点F，使得AF=AE，连接OF
∠OAE=∠OAF,OA=OA,AE=AF =>△OAE≌△OAF
=>∠AOF=∠AOE 又∵∠B=60°
∴∠AOC=∠B+∠BAD+∠BCE=60°+(∠BAC+∠BCA)/2
=60°+120°/2=120°，∴∠AOF=∠AOE=60°
∴∠COF=60°=∠COD，CO=CO，∠DCO=∠FCO
∴△OCD≌△OCF => CD=CF
∴AE+CD=AF+CF=AC