如何解微分方程？

Question

如题所述

Answer 1

解微分方程的方法因方程的类型而异。以下是一般的步骤：
1. **分离变量法：**
- 对于可分离变量的微分方程，将变量分开并分别积分。例如，对于\(\frac{dy}{dx} = x \cdot y\)，可以写成\(\frac{1}{y} \, dy = x \, dx\)，然后分别积分。
2. **线性微分方程：**
- 对于形如\(y' + P(x)y = Q(x)\)的一阶线性微分方程，可以使用积分因子法。找到积分因子 \(I(x) = e^{\int P(x) \, dx}\)，然后将方程乘以 \(I(x)\) 进行整理。
3. **常数系数线性齐次微分方程：**
- 对于二阶常系数线性齐次微分方程 \(ay'' + by' + cy = 0\)，可以设 \(y = e^{rx}\) 并解特征方程 \(ar^2 + br + c = 0\)，得到解的形式。
4. **变系数线性微分方程：**
- 对于高阶的线性微分方程，可以考虑使用特殊的技术，如常数变易法或级数解法。
5. **微分方程的变换：**
- 有时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，可以将微分方程化简为更易解的形式。
这只是解微分方程的一些基本方法。具体的解法取决于微分方程的类型和形式。对于更复杂的微分方程，可能需要采用数值方法或其他高级技术。

Answer 2

∫ x^(1/2)/[ 1+x^(4/3)] dx
u^5 = u^2.(1+u^3 ) -u^2
let
u=x^(1/4)
du = (1/4)x^(-3/4) dx
dx = 4u^3 du
∫ x^(1/2)/[ 1+x^(4/3)] dx
=∫ [u^2/(1+u^3)] [ 4u^3 du]
=4∫ [u^5/(1+u^3)] du
=4∫ [u^2 - u^2/(1+u^3)] du
= 4 [ (1/3)u^3 -(1/3)ln|1+u^3| ] + C
= 4 [ (1/3)x^(3/4) -(1/3)ln|1+x^(3/4)| ] + C