深入探讨加速优化的奥秘，我们聚焦于动量方法的基石——动量概念，旨在提升梯度下降在无约束极小化问题中的效率。常规梯度下降在遇到“高原”和鞍点时表现乏力，而动量技术，如 Heavy Ball 方法，借鉴物理的惯性原理，通过结合当前梯度与历史方向，巧妙地改善了路径的搜索效率。
历史回溯
1964年，Boris Polyak引领的动量法首次提出，其后的1983年，Yurii Nesterov的突破性发明——Nesterov Accelerated Gradient (NAG)，在1988年进一步扩展。Nesterov的创新开启了加速梯度下降的新纪元，尤其是在处理非光滑函数和组合优化问题上的显著进步。
2008年，FISTA（Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm）作为加速近端梯度算法的典范出现，其在优化领域的影响力不容小觑。而2009年，Paul Tseng等人通过统一理解光滑和非光滑函数，为加速优化理论提供了新的视角。
Nesterov方法的研究持续深入，从动力系统视角（如Weijie Su等人的工作）到基于二次约束的几何解释，不断丰富和深化我们对加速算法的理解。
技术细节与应用
例如，通过Quadratic Constraints (IQC)、Variational methods等策略，加速优化算法在机器学习的复杂场景中发挥关键作用。林宙辰教授的《机器学习中的加速一阶优化算法》提供了丰富的实践洞察。
Sutskever et al.的研究揭示了动量方法在深度学习中的实际应用，它在优化网络权重更新上表现出卓越性能。
Nesterov加速方法的核心在于构建一个满足特定形式的估计序列，引理1揭示了序列与收敛速度的紧密联系。通过引理2，我们能有效地构造出满足条件的序列，确保性能优化。
加速梯度下降的核心在于设计辅助序列，如定理1所示，它保证了收敛速度。当特定条件满足时，算法的性能达到最优，对于Oracle调用次数具有重要意义。
简化技术框架，摒弃冗余，我们看到：
总结来说，Heavy Ball 和 Nesterov 加速梯度下降方法是加速优化领域的瑰宝，它们在收敛速度和性能上都展现出优越性。FISTA的收敛证明则展示了其在特定情况下的稳健性，具体如下：
通过严谨的数学推导，FISTA 的收敛特性得以展现，其关键公式揭示了算法的内在力量。进一步的分析表明，FISTA在优化过程中展现出卓越的收敛速度。