在优化领域，锥规划扮演着关键角色，从二阶锥规划到半定规划，无一不与锥体结构紧密相关。当优化问题转化为对偶问题时，对偶锥和极锥的出现，为我们提供了深入理解问题本质的新视角。让我们一起揭开这些神秘锥体的面纱。
首先，我们定义一个锥体：集合 \(C\) 称为锥体，如果对于任何 \(x\) 和 \(t \geq 0\)，满足 \(tx \in C\)（锥的定义）。锥体的特性 显示它必然包含原点。
进一步，当一个集合既是锥体又是凸集时，我们称之为凸锥。凸锥的特性可以通过以下两个条件来刻画：性质1：如果 \(C\) 是凸锥，那么对于任何 \(x, y \in C\) 和 \(0 \leq \lambda \leq 1\)，都有 \(\lambda x + (1-\lambda)y \in C\)（凸性的直观体现）。
要证明这些性质等价于凸锥，证明 显示了这两个条件的必要性和充分性：如果 \(C\) 是凸锥，那么满足第2条，而第1条的必要性是通过凸性推出 \(tx \in C\) 推导的；反之，第2条确保 \(C\) 是锥，而第1条保证其凸性。
闭凸锥是凸集、闭集和锥体的结合体。例如，凸多面体是凸锥的典型例子，非负卦限也是闭凸锥的一个特例。洛伦茨锥，因其形状酷似冰淇淋，被命名为冰激凌锥，它由半正定矩阵构成，通过简单矩阵特征值的分析，可以证明其为凸锥。
半正定矩阵锥，如三维中的集合 \(\{X \in \mathbb{R}^{n \times n}: X \succeq 0\}\)，其凸性通过矩阵的特征值和迹的关系得到证明，它将半正定矩阵集合定义为一个凸锥。
类似于凸组合，锥体中存在锥组合的概念，对于 \(n\) 个向量 \(v_i\)，它们的锥组合 \(C(v_1, v_2, ..., v_n)\) 是非负系数 \(t_i\) 乘以 \(v_i\) 的集合。定理1揭示了凸锥的这一特性：任意 \(k\) 个点的锥组合仍然在凸锥内。
锥包定义为集合中所有锥组合的最小闭凸集合，定理2强调了它包含原始集合的特性。锥包中的元素可以通过锥表示理论，用有限个线性无关向量表示。
定理4指出，对于有限集合的锥包，其闭性是关键性质。通过锥表示定理，我们能证明有限个向量的组合闭合，进一步确保了锥包的闭合性。
在半定规划中，对偶锥和极锥是核心概念。对偶锥 \(C^*\) 由满足 \(y^T x \geq 1\) 的所有 \(y\) 构成，而极锥 \(P^+\) 包含所有与 \(C\) 中向量保持90度以上夹角的向量。极锥的特殊性质，如线性子空间的对应关系，展示了它在优化中的重要作用。