如何讨论函数的连续性

Question

如题所述

Answer 1

函数的连续性可以通过定义来讨论。

连续性的定义：设函数f（x）在点x=x0的某邻域内有定义，如果当自变量的增量Δx=x−x0趋于零时，对应的函数增量Δy=f（x0+Δx）−f（x0）也趋于零，即limΔx→0Δy=0，则称函数y=f（x）在x0点连续。

此外，还有一些关于连续性的其他性质，例如：如果函数在某点连续，则在该点一定可导、可微、可积等。在闭区间上的连续函数，必有上界和下界，且有最大值和最小值，并能取最小值和最大值之间的一切中间值。如f（x）、g（x）都在x=α处连续，则f（x）±g（x），f（x）g（x），只要g（α）≠0也在x=α处连续。

函数的由来

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是中国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。

中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”

所以“函数”是指公式里含有变量的意思。方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在中国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组