经济学综合 计算题 1.设某消费者的效用函数是柯布-道格拉斯

Question

如题所述

Answer 1

柯布—道格拉斯的形式一般为U(x,y)=(x^a)(y^b)
一般a和b就分别代表花在x和y上的比例。给出证明：
Max
U(x,y)=(X^a)(Y^b)
s.t
PxX+PyY=I
L=(X^a)(Y^b)+c(I-PxX-PyY)
dL/dX=a(X^(a-1))(Y^b)-cPx=0
dL/dY=b(X^a)(Y^(b-1))-cPy=0
=>aY/bX=Px/Py
=>PxX=(a/b)PyY
代入预算约束PxX+PyY=(a/b+1)PyY=I
Y(Px,Py,I)=I/[Py(a/b+1)]
花在Y上的比例即为
Sy=PyY/I=PyY(Px,Py,I)/I=Py{I/[Py(a/b+1)]}/I=1/(a/b+1)=b/(a+b)
如果令a+b=1，Sy就等于b
同理可得花在X上的全部货币占收入的比例PxX/I=a/(a+b)