求矩阵P，使(AP)^TAP为对角阵

Question

如题所述

Answer 1

解:(1)因为3是A的特征值,
故|A-3E|=0.
而
|A-3E|
=
8(2-y)
所以
y=2.
(2)
A'A
=
[注:
A'
=
A^T,
这个记号方便]
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
5
4
0
0
4
5
|A'A-λE|
=
(λ-9)(λ-1)^3.
A'A的特征值为:1,1,1,9
(A'A-E)X=0
的基础解系为:
a1=(1,0,0,0)',a2=(0,1,0,0)',a3=(0,0,1,-1)'.
(A'A-9E)X=0
的基础解系为:
a4=(0,0,1,1)'.
易见
a1,a2,a3,a4
两两正交.
单位化得:
b1=(1,0,0,0)',b2=(0,1,0,0)',b3=(0,0,1/√2,-1/√2)',b4=(0,0,1/√2,1/√2)'.
令P=(b1,b2,b3,b4)
则
P
为正交矩阵,
且
P'(A'A)P
=
(AP)'AP=diag(1,1,1,9).
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