第1个回答 2020-12-05
有界区域，你看看函数，有两个地方是有发散的“危险的”，就是0和1处，在这两个附近函数值都趋于正无穷。所以我们要分别判断这两点附近函数的行为来确定是否收敛。分为分成0到1/2
和1/2到1
两个区间就是来分别研究这两个奇点。
打个预防针，
一
最常见的讨论在0处积分收敛性的函数是(1/x)^p，在0附近，当p>=1时候积分是发散的，p<1时候积分是收敛的。其实这体现了一个思想，虽然函数在0处很大，但如果大得不够快，积分仍然是收敛的。
而这个最快的速度的分界线就是1/x，比他趋于无穷还快的话，那就没可能收敛了~
二
lnx在x趋于无穷大的时候虽然发散，但发散速度比x的任何正的代数次方都慢。
也就是lnx/x在无穷远处极限为0。如果分母x上面有次数，比如x^p,p>0，你只要令t=x^p,就可以得到类似的结论。分子也一样，因为(lnx)^p/x=[lnx/x^(1/p)]^p
里面极限是0~
总之你记住，lnx当x趋于无穷的时候，发散的速度是很慢的，它的任何正次方和x的任何正次方相比都是小量~
下面进入正题：
首先，对于在0附近，分子等价于x^(2/m),分母还是x^(1/n),那么整个式子就是(1/x)^(1/n-2/m);
由于m，n都是正整数，所以1/n-2/m<1/n<=1,总是小于1的(第一个不等号是严格的！)，根据预防针一，在0处是收敛的，不管m，n具体是神马。
其次看1附近的行为，分母趋于1，忽略之~
分子做个变换就是(lnx)^(2/m)在0附近的积分了。
如果你看懂预防针二的话这里也就很明显了。原因是(lnx)^(2/m)=(-ln(1/x))^(2/m)
和(1/x)^0.5相比是小量，后者积分收敛。
其实他在0处发散的速度比(1/x)^p，p>0都要慢。