二次曲面的判别法

Question

如题所述

Answer 1

对于二次曲面的一般式
Ax^2+By^2+Cz^2+2Dyz+2Exz+2Fxy+2Gx+2Hy+2Iz+J=0
....|A...F...E...G|...............|A...F...E|
....|F...B...D...H|...........δ=|F...B...D|...........................S=A+B+C
Δ=|E...D...C...I |...............|E...D...C|
....|G...H....I....J|......................................................称为二次曲面的不变量。
又设
.............|A...F...G|...............|B...D...H|...............|A...E...G|
.......Δ1=|F...B...H|.........Δ2=|D...C....I|.........Δ3=|E...C....I|..........Δ0=Δ1+Δ2+Δ3
.............|G...H...J|................|H....I....J|...............|G....I....J|
δ0=|A...F| + |B...D| + |A...E|
......|F...B|....|D...C|....|E...C|..................S1=A+B............S2=B+C..............S3=A+C δ>0 Δ=0 　　　　　　点 ... Δ≠0 　　　　ΔS>0 虚椭球面 ... ... 　　　　ΔS<0 椭球面 δ<0 Δ>0 　　　　　　单叶双曲面 ... Δ=0 　　　　　　二次锥面 ... Δ<0 　　　　　　双叶双曲面 δ=0 Δ<0 　　　　　　椭圆抛物面 ... Δ>0 　　　　　　双曲抛物面 ... Δ=0 δ0>0 Δ0=0 　　线 ... ... ... Δ0≠0 Δ1*S1+Δ2*S2+Δ3*S3>0 虚椭圆柱面 ... ... ... ... Δ1*S1+Δ2*S2+Δ3*S3<0 椭圆柱面 ... ... δ0<0 Δ0=0 　　相交平面 ... ... ... Δ0≠0 　　双曲柱面 ... ... δ0=0 Δ0≠0 　　抛物柱面 ... ... ... Δ0=0 G^2+H^2+I^2-JS>0 平行平面 ... ... ... ... G^2+H^2+I^2-JS=0 重合平面 ... ... ... ... G^2+H^2+I^2-JS<0 平行虚平面 x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0