设y=f（x）在x=x0的邻域内具有三阶连续导数，如果f（x0）二阶导数=0，而三阶导数不等于0

Question

设y=f（x）在x=x0的邻域内具有三阶连续导数，如果f（x0）二阶导数=0，而三阶导数不等于0试问（x0，f（x0））是否为拐点？为什么？

Answer 1

(x0,f(x0))一定是拐点。

f'''(x0)=lim f''(x)/(x-x0)。
假设f'''(x0)＞0，根据保号性，在x0的某去心邻域内，f''(x)/(x-x0)＞0，进而在x0的左侧f''(x)＜0，右侧f''(x)＞0，所以(x0,f(x0))是拐点。
假设f'''(x0)＜0，根据保号性，在x0的某去心邻域内，f''(x)/(x-x0)＜0，进而在x0的左侧f''(x)＞0，右侧f''(x)＜0，所以(x0,f(x0))是拐点。