证明以log10为底2的对数是无理数还是有理数

Question

如题所述

Answer 1

首先，我们知道任何有理数都可以表示成分数的形式,一个实数若不是有理数，则一定是无理数。
其次，不妨设题目中的对数为r，即10^r=2，若r为有理数，令r=p/q，其中p、q是互素的整数。
由上面的假设我们可以得到10^p=2^q，进而推出5^p=2^(q-p)，其中，p、q-p都是整数。
由于5和2都是素数，所以5^p=2^(q-p)违反了算术基本定理，矛盾。所以假设是不正确的，即r是无理数。

Answer 2

假设此数为有理数。由于有理数性质，可设此数a=n/m;(m,n均为整数，且m!=0);而且由于a不等于0可确定n不等于0；
可得10^(n/m)=2;两边同时取m次幂。
即为10^n = 2^m；
矛盾；
10^n可被5整除；但是2^m即2的整数次幂中不存在被5整除的数。
故此，反证法推导出此数为无理数。

Answer 3

设log25=x，且x为有理数 根据有理数性质，x=m/n，m、n∈z log25=x=m/n 2^（m/n）=5 2^m=5^n 因为2、5互质，所以2^m=5^n不可能成立。 因此假设不成立，即x不是有理数，是无理数
假设此数为有理数。由于有理数性质，可设此数a=n/m;(m,n均为整数，且m!=0);而且由于a不等于0可确定n不等于0；
可得10^(n/m)=2;两边同时取m次幂。
即为10^n = 2^m；
矛盾；
10^n可被5整除；但是2^m即2的整数次幂中不存在被5整除的数。
故此，反证法推导出此数为无理数。本回答被提问者和网友采纳

Answer 4

设log25=x，且x为有理数
根据有理数性质，x=m/n，m、n∈z
log25=x=m/n
2^（m/n）=5
2^m=5^n
因为2、5互质，所以2^m=5^n不可能成立。
因此假设不成立，即x不是有理数，是无理数

Answer 5

假设以log10为底2的对数是有理数，则有log10(2)=m/n(m,n为互质正整数)，则有10^m=2^n，因为m,n是正整数，所以10^m尾数为0，而2^n尾数不为0。所以等式不可能相等，矛盾。因此log10为底2的对数是无理数。