柯西不等式

Question

为什么当柯西不等式中取等号时为直线与双曲线或其他图形的切点

Answer 1

你说的不是柯西不等式的情况（柯西不等式是(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)），而是几何算术平均不等式（有很多变体形式，比较常见的有4ab≤(a+b)²），举例说明：

例题：已知2x+5y=20，求xy的最大值

先用几何算术不等式解，然后告诉你其几何意义（你可能已经看出来了）

∵(2x)(5y)≤{(2x+5y)/2}²=100

∴xy≤10 ，等号当且仅当x=5，y=2时成立

∴xy最大值为10

从几何上讲，2x+5y=20表示直角坐标系的一条直线，xy=k表示一条双曲线，如果我们要求 xy 的最大值，就是 k 的最大值喽。

如果你画出来，一条定直线和若干条不定的双曲线，你可以用不同的具体数值替换k，画出一族平行的双曲线（建议这样做，可以增加直觉），那么很明显，只有在双曲线 xy=k 和直线 2x+5y=20 相切的时候，k是最大的。你要求k，那么用代数方法就是上面的解法。所以你能理解为什么不等式中取等号时为直线与双曲线或其他图形的切点了吧。

还有更深入的一些应用，就是经济学里面当做宝一样的最优化，比如效用最大化的模型，原则上就是这个道理，你可以在任何一本经济学入门书里了解这种应用。

Answer 2

柯西不等式有很多种形式，中学里面的取等号时仅发生只有一解，此时在几何上表现为只有一点即切点。