[紧急问题]高中数学:将导数图像转换成原函数图像时,增区间和减区间都有两种画法(上凸下凸各两个),怎么...

Question

[紧急问题]高中数学:将导数图像转换成原函数图像时,增区间和减区间都有两种画法(上凸下凸各两个),怎么根据导数图像变化来选哪种画法?

Answer 1

一般是求二阶导数，即求f'(x)的导数f''(x)。
1. 若二阶导数f''(x)>0，则f'(x)是增函数，f(x)画成下凸（或凹）的，如f(x)=x²，f'(x)=2x，f''(x)=2>0，
从而 f(x)=x²是下凸函数。
2.同样，若二阶导数f''(x)<0，则f'(x)是减函数，f(x)画成上凸的。

注：上凸与下凸，与原函数的增减性无关，上凸与下凸的分界点，是函数的拐点。
如f(x)=x³，f'(x)=3x²，f''(x)=6x，令f''(x)=0，得x=0，
当x>0时，f''(x)>0，f(x)是下凸的；当x<0时，f''(x)<0，f(x)是上凸的，从而 x=0是函数的拐点。
而 f(x)在R上都是增的，从而说明：上凸与下凸，与原函数的增减性无关。

Answer 2

这个时候，还应该利用对导数再求导数，也就是对原函数进行二次求导，求得令二次导数等于零的值，这也就是在大学阶段用来判断拐点的方法。
设使得某函数f(x)的导数等于0的点为a,使得其二次导数等于0的点为b，如果有:
[f(a)+f(b)]/2＞f((a+b)/2) 则是下凸；
[f(a)+f(b)]/2＜f((a+b)/2) 则是上凸。

此时再结合增减区间的定义域的取值，即可根据导数图像来判定增区间和减区间凹凸性的画法。

Answer 3

导数增加的区间画成凸区间，导数减少的区间画成凹区间。

Answer 4

1. 若二阶导数f''(x)>0，则f'(x)是增函数，f(x)画成下凸（或凹）的，如f(x)=x²，f'(x)=2x，f''(x)=2>0，
从而 f(x)=x²是下凸函数。
2.同样，若二阶导数f''(x)<0，则f'(x)是减函数，f(x)画成上凸的。