已知函数f(x)等于2分之1乘x平方加Inx 1:求函数f(x)在区间[1，e]上的值域 2:求证：x>1时，f(x)<3分之2乘...

Question

已知函数f(x)等于2分之1乘x平方加Inx 1:求函数f(x)在区间[1，e]上的值域 2:求证：x>1时，f(x)<3分之2乘x的立方 有急用谢谢各位啊

Answer 1

f'（x）＝x+1/x，显然在区间［1，e］上f'（x）>0，所以在该区间f（x）是单调递增函数，于是f（1）≤f（x）≤f（e）
即f（x）的值域为［1/2，e/2+1］
2.构造函数g（x）＝2/3x^3-f（x）
g'（x）＝2x^2-x-1/x ，其中x≥1，
又g''（x）＝4x-1+1/x^2，当x≥1时，g''（x）＞0，说明g'（x）在x≥1是单调递增函数，所以当x＞0时，g'（x）＞g'（1）＝0，这说明g（x）在x＞1时为单调递增函数，所以g（x）＞g（1）＝1/6＞0
即g（x）＝2/3x^3-f（x）＞0
亦即 f（x）＜2/3x^3，于是原命题得证。

Answer 2

(1)
f(x)=x²/2+lnx
f'(x)=1/2+1/x
令f'(x)=0
x=-2
x在[1,e]
f''(x)>0
f(x)减
f(1)=1/2 f(e)=e²/2+1
函数f(x)在区间[1，e]上的值域 [1/2,e²/2+1]

(2)
g(x)=x²/2+lnx-2x³/3
g'(x)=x+1/x-2x²
令g'(x)=0
x+1/x-2x²=0
2x³-x²-1=0
(x-1)(2x²+x+1)=0
x=1
g''(x)=1-1/x²-2x
g''(1)=1-1-2<0
g(1)=1/2-2/3=-1/6 最大值
g(x)≤-1/6<0
x²/2+lnx-2x³/3<0
x²/2+lnx<2x³/3

Answer 3

解：求导，f‘(x)=x+1/x ，在区间[1，e]上，f‘(x）>0. 原函数是增函数。f(1)=0.5, f(e)=1+e的平方/2. 值域就是这个。
证明：令F（x）=f（x）-3分之2乘x的立方, 求导F’（x）=x+1/x -2乘以x的平方，再求导F‘’（x）=1-1除以x的平方-4x 当x>1时，F‘’（x）<0，所以F‘（x）最大值是F’（1）=0，所以F'(X)<0，F（x）是减函数，F(1)=-1/6<0, 所以x>1时，f(x)<3分之2乘x的立方

Answer 4

值域是[1/2，(1/2)*e^2+1]

第二题：x=1时，f(x)=1/2，3分之2乘x=1>f(1)，
在对俩式求导，f(x)的导数是x+1/x，3分之2乘x的导数是2x，当x大于1时，f(x)的导数小于3分之2乘x的导数（因为x大于1/x），所以x>1时，f(x)<3分之2乘x的立方。

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