利用三重积分计算曲面z^2=x^2+y^2与平面z=1所围立体的质心，其中密度p=1

Question

如题所述

Answer 1

曲面是旋转平方根曲面，有关于z=0对称的上下两个分支，立体是上面的分支在z=1以下的部分。

关于z轴对称，质心在z轴上。只要确定重心z的值即可。
体积=∫dv，z∈[0,1],取z=z与z=z+dz两个曲面之间的一个切片为dv，近似可以看成一个圆盘，体积=πz²dz
V=∫πz²dz=πz³/3=π/3
dv对于原点的矩的积分为：
M=∫zdv=∫πz³dz=πz^4/4=π/4
重心z=M/V=(1/4)/(1/3)=3/4
重心(0,0,3/4)