正弦交流电路中电压正弦交流电路中电压与电流的关系与电流的关系 一、一、 纯电阻电路纯电阻电路 1.电压与电流的关系电压与电流的关系 或或 相量关系式为：相量关系式为： tsinIimtsinUtsinRIiRummRIUmmRIUIUmmRIU上一页下一页返 回(a) (a) 瞬时值表示瞬时值表示 (b) (b) 有效值表示有效值表示 图图1 纯电阻电路纯电阻电路上一页下一页返 回Riu+_（a）波形图）波形图 (b) 相量图相量图 (c) 瞬时功率图瞬时功率图图图2 纯电阻电路的波形图与相量图纯电阻电路的波形图与相量图 上一页下一页返 回2.电路中的功率电路中的功率 电路任一瞬时所吸收的功率称为瞬时功率，以p表示。 p=ui=UmsintImsint = U Isin2t =UI(1-cos2t)=UI-UIcos2t 通常所说的功率是指一个周期内电路所消耗（吸取）功率的平均值，称为平均功率或有功功率，简称功率，用P表示。2T0dt) t2cos1 (UIT1PRURIUI222上一页下一页返 回 综上所述，电阻电路中的电压与电流的关系可用相量形式的欧姆定律 来表示，电阻消耗的功率与直流电路有相似的公式，即UI R22PUII RUR上一页下一页返 回例题：例题： 例1 在纯电阻电路中，已知i=22 sin(1000t+30)A，R=10，求：（1）电阻两端电压的瞬时值表达式； （2）用相量表示电流和电压，并作出相量图； （3）求有功功率。2上一页下一页返 回解：（1）已知Im=22 A，R=10，所以 Um=ImR=220 V 因为纯电阻电路电压与电流同相位，所以u=220 sin(1000t+30)V （2） =2230A =22030V 相量图如图3所示。 （3）P=UI=22022=4840W222IU上一页下一页返 回图图3 例例1的相量图的相量图 上一页下一页返 回二、二、 纯电感电路纯电感电路 电压与电流的关系 （1） 由上式可知：（1）Um=LIm，即 =L 线圈电感L越大，交流电频率越高，则L的值越大，也就是对交流电流的阻碍作用越大，我们把这种“阻力”称作感抗，用XL代表。 XL=L=2fLdtdiLedtdiLeu)90tsin(UtcosLIdt) tsinI (dLdtdiLummmIUIUmm上一页下一页返 回 L为电感量，单位为亨利（为电感量，单位为亨利（H）, f为为流过电感的电流频率，单位为赫兹流过电感的电流频率，单位为赫兹（Hz）；）；XL是电感元件两端的电压与流是电感元件两端的电压与流过电流的比值，单位显然是过电流的比值，单位显然是 上一页下一页返 回(a) (a) 瞬时值表示瞬时值表示 (b) (b) 相量表示相量表示 图图4 4 纯电感电路纯电感电路 上一页下一页返 回（2）由式（）由式（1）还可看到电感两端电压超前电流）还可看到电感两端电压超前电流相位相位90 （或（或 /2弧度）弧度）（a）波形图）波形图 (b) 相量图相量图 (c) 瞬时功率图瞬时功率图图图5 5 纯电感电路的波形图与相量图纯电感电路的波形图与相量图上一页下一页返 回 用相量表示电感元件的电压与电流的关用相量表示电感元件的电压与电流的关系，则系，则 或或 LjXIULLI jXI jU上一页下一页返 回2.电感电路中的功率电感电路中的功率 （1）瞬时功率p=iLUL=ILMsintULMsin(t+90)=ULILsint （2）有功功率P=0 （3）无功功率 式中，QL电路的无功功率，单位为乏（var）或千乏（kvar）； UL线圈两端电压的有效值（V）； IL流过线圈电流的有效值（A）； XL线圈的感抗（）。LLLLLLLXUXIUIQ22上一页下一页返 回例2 一线圈的电感量L=0.1H，将其分别接于（1）直流；（2）交流50Hz；（3）交流1000Hz交流电路中，试分别求该电感线圈的感抗XL。上一页下一页返 回解：（1）XL=L=10000.01=10，Im=22 A， Um=ImXL=220 V 因为纯电感电路电压超前电流90，故 u=220 sin(1000t+120)V。 （2） =2230A =220120V 相量图见图6。 P=0 Q=UI=22022=4840var 2222IU上一页下一页返 回图图6 例例3的相量图的相量图上一页下一页返 回三、三、 纯电容电路纯电容电路 加在电容元件两个极板上的电压变化时，极板上贮存的电荷Q=CU就随之而变，电荷量随时间的变化率，就是流过联接于电容导线中的电流，即 （2） （3）此式也可以写成 （4） 如图7所示的电容器两端加上正弦电压u=Umsint，则在回路中就有电流 dtduCdtdqiidtCu1)90sin()sin(tItCUdttUdCdtduCimmm上一页下一页返 回 由上式可知： （1）Im=CUm 即 （5） 实验和理论均可证明，电容器的电容C越大，交流电频率越高，则1/C越小，也就是对电流的阻碍作用越小，我们把电容对电流的“阻力”称作容抗，用XC代表。 （6） 式（5）中，频率f的单位为Hz，电容C的单位为法拉（F），容抗XC的单位仍是欧姆（），XC与电容C和频率f成反比。当C一定时，电容器具有隔直通交的特性，当f=0时，XC=，此时电路可视作开路，即“隔直”作用。fCCXC211CIUIUmm1上一页下一页返 回(a) (a) 瞬时值表示瞬时值表示 (b) (b) 相量表示相量表示 图图7 纯电容电路纯电容电路 上一页下一页返 回（2）式（4）还告诉我们通过电容的电流与它的端电压是同频率的正弦量，电流超前于电压90（或/2弧度）。 （a）波形图）波形图 （b）相量图）相量图 （c）瞬时功率图）瞬时功率图 图图8 纯电容电路的波形图与相量图纯电容电路的波形图与相量图上一页下一页返 回 电容器两端电压与电流的关系用相量式表示有 （7） 式（7）不仅表示了电压和电流的大小关系，如表达式（6）所示，同时表示了纯电容电路中电压滞后电流90的关系，我们也可把式（7）写成 （8）CjXIUCjICIjXIjUC1上一页下一页返 回电容电路中的功率电容电路中的功率 （1）瞬时功率 电容电路所吸收的瞬时功率为p=ui=UmsintImsin(t+90)=UIsin2t，作出瞬时功率曲线图如图8(c)。 （2）有功功率一个周期内的有功功率为零。 （3）无功功率 与电感相似，电容与电源功率交换的最大值，称为无功功率，用QC表示，即 QC=UI=I2XC=CXU2上一页下一页返 回 综上所述，电容电路中电压与电流的关系综上所述，电容电路中电压与电流的关系可由相量形式的欧姆定律可由相量形式的欧姆定律 =-j XC来表达，来表达，电容不消耗功率，其无功功率是电容不消耗功率，其无功功率是 QC=UI=I2XC=U2/XC。IU上一页下一页返 回例4 在纯电容电路中，已知 i=22 sin(1000t+30)A， 电容量C=100F，求（1）电容器两端电压的瞬时值表达式； （2）用相量表示电压和电流，并作出相量图；（3）求有功功率和无功功率。2上一页下一页返 回解：（1） ，Im=22 A， Um=ImXc=220 V。 因为纯电容电路中电压滞后电流90，所以 u=220 sin(1000t-60)V （2） =2230A =220-60V 相量图如图3.22所示。
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