一、直线和平面所成的角，即直线与它在平面内的射影所成的角。射影，顾名思义，也就是相对于平面，在直线的正上方所投的光线在平面上留下的影子。数学上自然是从直线上选取一点，向平面引垂线，垂足和斜足的连线就是射影了。所以，求直线与平面所成的角一般是来解直角三角形。在具体的题目中，这条垂线甚至无须作，因为有现成的了。所以在处理此类问题中，我们常说的一句话是欲求先作或先找，这和求异面直线所成的角的情况是一样的。有些问题则是，已知直线与平面所成的角来解决其他问题，如：
例1.在三棱锥P-ABC中,PA⊥AC,PB⊥BC,AC⊥BC,PA,PBA与平面ABC所成的角分别为30度,45度,直线PC与AB能否垂直?并证明所的结论!
借助于平面α我们画出三棱锥P-ABC。
∵PA⊥AC，PB⊥BC，AC⊥BC
∴△PAC,△PBC,△ABC都是直角三角形。
作PD⊥平面α，垂足为D,则∠PAD即为PA与平面ABC所成的角，∠PAD =30度。
作PE⊥AB于E,连DE,则∠PED即为面PBA与平面ABC所成的角，∠PED=45度。
当Rt△ABC为直角等腰三角形，Rt△PAC与Rt△PBC全等时，E为AB的中点，CD⊥AB,于是有PC⊥AB.
http://hi.baidu.com/zhyzydw740120/album/item/10bfd1dd78867b3d5882dd0d.html二、平面和平面所成的角，即二面角，比起前面的直线与平面所成的角要复杂一些。这种复杂主要表现在找到或作出这个角，由于空间位置的不规则造成的。因为通常此类问题不是单一的一个二面角而是在一个多面体中。一般来说，1.在其中一个平面中，选取一个点（有时候这个点是现成的），向两平面的交线（棱）引垂线，找到垂足后，再在另一个平面内作棱的垂线，就作出了这个二面角的平面角；2.从一个平面内的一点，向另一个平面引垂线，找到垂足（有时候这条垂线也是现成的），从垂足向棱引垂线；3.作棱的垂直平面，与二面角的交线形成的角即为二面角的平面角。不外乎这些类型。当然了，这类题目也不仅仅是求二面角，不少情况下是已知二面角的大小再解决其他问题，这自然是要作出或找到二面角的平面角。
例1.矩形ABCD中，AB=2√2, BC＝2，沿对角线BD将 向上折起，使A移至P且P在面BCD的射影O落在DC边上。
(1)求证：O是CD的中点 (2)求二面角P－BD－C的大小 (3)求点C到面PBD的距离
（1）如图（1），作PE⊥BD,连OE,则OE⊥BD.
此时，我们再将图形恢复到原处，则如图（2），P,A必重合。（为统一我们用P代A）
在矩形PBCD中，PO⊥BD于E，并与CD交于O。
PB=2√2,BC=2,则BD=2√3.
∵PD^2=DE*BD,∴DE=2/√3.
∵PE^2=PD^2-DE^2,∴PE=2√6/3.
∵DE^2=OE*PE,∴OE=√6/3.
∴OD^2=OE^2+DE^2=2,∴OD=√2.
http://hi.baidu.com/zhyzydw740120/album/item/10bfd1dd78867b3d5882dd0d.html因CD=2√2,所以O为CD的中点。
（2）如图（1），
∵OE⊥BD,PE⊥BD,∴∠PEO即为二面角P-BD-C的平面角。在Rt△POD中，PO^2=PD^2-OD^2=2,∴PO=√2.
在△POE中，由余弦定理得：
cosPEO=（PE^2+OE^2-PO^2）/2PE*OE=1/2,
∴∠PEO=60°.
即二面角P-BD-C=60°.
（3）如图（1），PO=√2,即P到平面BCD的距离为√2.由对称性，C到平面PBD的距离也是√2.
http://hi.baidu.com/zhyzydw740120/album/item/734f112c637350e68b139930.html例2.Rt△ABC中，Ac=BC= ，CD⊥AB，沿CD将△ABC折成60°的二面角A-CD-B，则折叠右点A到平面BCD的距离是多少？（图略）
在二面角A-CD-B中,连AB,则△ADB是等腰三角形,
又AD⊥CD,BD⊥CD,所以CD⊥面ADB,
所以角ADB即为二面角A-CD-B的平面角,
角ADB=60度,因此△ADB是等边三角形.
在△ADB中,作AE⊥BD,又CD⊥AE( CD⊥面ADB,AE属于面ADB),
所以,AE⊥面BDC,AE即为A点到面BCD的距离.
设Rt△ABC的边Ac=BC=a,
则AD=BD=(根下2)a/2,
AE=[(根下3)/2]* [(根下2)a/2]
=(根下6)a/4.
例3.直角三角形ABC在平面M内，角BAC=90度，AB=18cm,点P在平面M外，它到平面M的距离为40cm，且PA=PB=PC.
1）求证：平面PBC垂直平面M
2)求二面角P-AC-B的正切值
(1)设P在平面M内的投影为D,连结PA,PB,PC,因PA=PB=PC,所以这三条平面M的斜线在平面M内的射影必定相等.即D到A,B,C三点的距离相等.因此,D必是直角三角形ABC斜边BC的中点.
于是有,PD⊥平面M,而平面PBC经过PD,所以, 平面PBC⊥平面M.
(2)取AC的中点E,连DE,PE.因DE是直角三角形ABC的中位线,所以DE‖AB, DE⊥AC,且DE=1/2*AB=1/2*18=9 cm.
又在等腰三角形PCA中,E为AC的中点,所以PE⊥AC,又DE⊥AC,所以∠PED即为二面角P-AC-B的平面角.在直角三角形PED中,tanPED=PD/DE=40/9.
http://hi.baidu.com/zhyzydw740120/album/item/11cede224fc849f6d6cae20c.html如果你觉得看了上面的，不是越来越湖涂，我就感到十足了。