计算含参变量积分求导问题(数学分析)

Question

在定积分一章中，变上限积分原函数存在定理，提供了一种求导方法。
而在多元函数微分学一章中，讨论了含参量积分的连续性、可微性、可积性。其中可微性内容中又有求含参量积分的导数的公式。
请问这两者内容是否统一？请解释一下.
有以下2题目：
①F(t)=积分（0到2t+1） ln(x^2+t^2)dx , 求 F'(-1)
②f(x)=积分（3到2x-1）[sin(y-x) / (1+y^2)]dy, 求 f'(x)
第二个题的被积函数显然应是二元函数。
那么①问题的被积函数是多元函数吗？t是否看作是y？这个疑问是否会影响到①的最终求解？
两个题解答请写一下关键步骤，答好了追加分数。

Answer 1

问题中的被积函数是多元函数，即被积函数为g(x,t)=ln(x²+t²)

过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx

=∫ 2t/(x²+t²)dx

=2arctan(x/t)| [0,2t+1]

=2 arctan[(2t+1)/t]

从而F'(-1)=2arctan1=π/2

不能用变上限积分求导的方法求，因为被积函数是t的函数。

函数的近代定义

是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

Answer 2

①问题中的被积函数是多元函数，即被积函数为g(x,t)=ln(x²+t²)，
过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx
=∫ 2t/(x²+t²)dx
=2arctan(x/t)| [0,2t+1]
=2 arctan[(2t+1)/t]
从而F'(-1)=2arctan1=π/2
不能用变上限积分求导的方法求，因为被积函数是t的函数！
②的方法和①类似追问

请问什么的情况下可以用变上限积分求导法？
问题的第四行，这两者是不是统一的？为什么？您还没有解释呢。

追答

变上限积分的求导公式如下
F(t)=∫ [a(t), b(t)] f(x)dx，则F'(t)=a'(t) f[a(t)]-b'(t)f[b(t)]
也就是当求导的对象是t时，只有在积分上下限为t的函数，被积函数不含有t的时候才能用以上公式！
二者不统一，因为①中没办法用上述公式算，你可以计算一下，结果不一样！

追问

t只是一个符号啊...有可能是为了和x区分才换的啊...
变上限积分的求导和含参积分求导区别是什么啊？

追答

变上限积分求导就是求导对象只在上下限出现，在被积函数中不出现
含参变量积分求导就是求导对象出现在被积函数中
此外，①做的时候我漏了一项，不好意思！应该是
过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx+g(2t+1, t)(2t+1)'
=∫ 2t/(x²+t²)dx+2ln [(2t+1)²+t²]
=2arctan(x/t)| [0,2t+1]+2ln [(2t+1)²+t²]
=2 arctan[(2t+1)/t]+2ln [(2t+1)²+t²]
从而F'(-1)=2arctan1+2ln2

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Answer 3

嗯 1是一元的积分（t应看成常数）
看到求积分 的导数问题 要会用罗尔定理（f‘（x）=积分（a到b）=（b-a）f（x)

Answer 4

1:首先将ln(x^2+t^2)dx 还原为》ln(4x) ,.再求F(2t+1)-F（0)