已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0 方程表示圆时，t为何值时圆的面积最大？

Question

如题所述

Answer 1

圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
半径r²=(D²+E²-4F)/2
该题中，D=-2(t+3)，E=2(1-4t²)，F=16t^4+9
则D²+E²-4F=4(t+3)²+4(1-4t²)²-64t^4-36
=-28t²+24t+4
r²=-14t²+12t+2，当t=3/7时，r²æœ‰æœ€å¤§å€¼32/7，此时圆的面积最大
所以，t=3/7时，圆的面积最大

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Answer 2

对方程进行化简
x^2+y^2-2(t+3)x+2(1-4t^2)y+16^4+9=0
[x^2-2(t+3)x+(t+3)^2]+[y^2+2(1-4t^2)y+(1-4t^2)^2]+[-(t+3)^2-(1-4t^2)^2+16t^4+9]=0
[x-(t+3)]^2+[y+(1-4t^2)]^2+[-t^2-6t-9-1-16t^4+8t^2+16t^4+9]=0
[x-(t+3)]^2+[y+(1-4t^2)]^2+[-6t-1+7t^2]=0
化简得
[x-(t+3)]^2+[y+(1-4t^2)]^2=-7t^2+6t+1=-7(t^2-6t/7+9/49)+9/7
[x-(t+3)]^2+[y+(1-4t^2)]^2=-7(t-3/7)^2+9/7
当圆面积最大时，t=3/7，半径为R=3/(根号7)
此时圆的方程为（x-24/7)^2+(y+13/49)^2=9/7
圆的最大面积为S=πR^2=9π/7

Answer 3

r=1/4*√[D²+E²4F]=1/4*√[4(t+3)²+4(1-4t²)²-4(16t^4+9)]
=√[(t+3)²+(1-4t²)²-(16t^4+9)]
=√(-7t²+6t+1)
方程表示圆时:-7t²+6t+1>0
7t²-6t-1<0
-1/7<t<1
r=√(-7t²+6t+1)
当t=3/7时，-7t²+6t+1取到最大值=16/7
即r最大为4/√7
圆的面积最大=π*16/7=16π/7

Answer 4

x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）x2y＋16t4＋9＝0
把它变为圆方程式:
[x-(t＋3)]^2+[y+(1-4t^2)]^2=-7t^2+6t+1
令R^2=-7t^2+6t+1=-7(t-3/7)^2+16/7
当t=3/7,R^2有最大值16/7
所以t=3/7圆的面积最大

Answer 5

圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
半径r²=(D²+E²-4F)/2
该题中，D=-2(t+3)，E=2(1-4t²)，F=16t^4+9
则D²+E²-4F=4(t+3)²+4(1-4t²)²-64t^4-36
=-28t²+24t+4
r²=-14t²+12t+2，当t=3/7时，r²有最大值32/7，此时圆的面积最大
所以，t=3/7时，圆的面积最大

Answer 6

t=3/7时，圆的面积最大。你把方程配方成圆的标准方程，可以得到半径的平方等于-7t^2+6t+1，从而求出当t=3/7时，圆的面积最大！