1+X4次方括号分之一的积分怎么算

Question

如题所述

Answer 1

计算过程如下：

∫ 1/(x⁴+1) dx

=(1/2)∫ [(1+x²)+(1-x²)]/(x⁴+1) dx

=(1/2)∫ (1+x²)/(x⁴+1) dx + (1/2)∫ (1-x²)/(x⁴+1) dx。

分子分母同除以x²，得：

=(1/2)∫ (1/x²+1)/(x²+1/x²) dx + (1/2)∫ (1/x²-1)/(x²+1/x²) dx。

将分子放到微分符号后，得：

=(1/2)∫ 1/(x²+1/x²) d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/(x²+1/x²) d(x+1/x)

=(1/2)∫ 1/(x²+1/x²-2+2) d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/(x²+1/x²+2-2) d(x+1/x)

=(1/2)∫ 1/[(x-1/x)²+2] d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/[(x+1/x)²-2] d(x+1/x)

=(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] - (√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)| + C。（以上C为常数）

扩展资料：

不定积分求法：

1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。

2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

（1）第一类换元法（即凑微分法）。通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

（2）第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 

两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 2

∫ 1/(x⁴+1) dx
=(1/2)∫ [(1+x²)+(1-x²)]/(x⁴+1) dx
=(1/2)∫ (1+x²)/(x⁴+1) dx + (1/2)∫ (1-x²)/(x⁴+1) dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫ (1/x²+1)/(x²+1/x²) dx + (1/2)∫ (1/x²-1)/(x²+1/x²) dx
将分子放到微分符号后
=(1/2)∫ 1/(x²+1/x²) d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/(x²+1/x²) d(x+1/x)
=(1/2)∫ 1/(x²+1/x²-2+2) d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/(x²+1/x²+2-2) d(x+1/x)
=(1/2)∫ 1/[(x-1/x)²+2] d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/[(x+1/x)²-2] d(x+1/x)
=(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] - (√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)| + C本回答被网友采纳