数学分析上有证明。两者等价,都是实数系基本定理。
不用
柯西原理和其他定理,直接证法如下。
定理 非空有上界的数集必有
上确界;非空有下界的数集必有下确界。
证明:任意实数x可以表示为x=[x]+(x),整数部分+非负小数部分。我们将(x)表示成无限小数形式:
(x)=0.a1 a2 a3 ... an ...,
其中a1,a2,...,an,...中的每一个数字都是0,1,...,9中的一个,若(x)是有限小数,则在后面接上无限个0。这称为实数的
十进制无效小数表示。注意0.123000...=0.122999... 为了保持表示的唯一性,约定类似情况统一表示成前者。这样,任意实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示:
{a0+0.a1 a2 ... an ... | a0=[x], 0.a1 a2 ... an ... = (x), x属于S}。
设数集S有上界,则可令S中元素的整数部分的最大者为b0,b0一定存在,否则S就无上界,并记
S0={x|x属于S 且 [x]=b0}。
显然由b0的定义,S0不是
空集,并对任意x属于S\S0,有x<b0。
再令S0中元素的第一位小数中的最大者为b1,并记
S1={x|x属于S0 且 x的第一位小数是b1}。
显然S1亦非空集,并且对任意x属于S\S1,有x<b0+0.b1。
一般地,令数集Sn-1中元素的第n位小数中的最大者为bn,并记
Sn={x|x属于Sn-1 且 x的第n位小数是bn}。
一如既往做下去,我们得到一列非空数集S>S0>S1>...>Sn>...,和一列数b0,b1,...,bn,...,满足
b0是整数,bk是0,1,...,9中的一个。
令c=b0+0.b1 b2 ... bn ...,下面证明c就是S的上确界。
首先,若x属于S,则或存在
非负整数m,使得x不属于Sm,或对任何非负整数n有,x属于Sn。
若x不属于Sm,有
x < b0+0. b1 b2 ... bm <= c;
若对于任意n,x属于Sn,由Sn的构造可知 x=c。
因此c是S的上界。
其次,对于任意给定的e>0,当m充分大,便有 1/10^m < e。
取y属于Sm,则c与y的整数部分及前m位小数是相同的,所以
c-y <= 1/10^m < e,
即 y>c-e,这就说明了任何小于c的数都不是S的上界。
故c就是S的上确界。
同理可证下确界存在性。
用柯西原理的话,先证明闭区间套定理,再证明确界存在定理。