这几个称呼并不是同个时代的，因此无法判断关系只能说个大概。
寡人是寡人这个称号是在秦始皇之前的君主自称，春秋战国时期常用。而在其后皇帝一般都以朕自称。因此寡人可看做君王。
奴家，是古时女子、妇女的自称。臣妾，西周、春秋时对奴隶的称谓。男奴叫臣，女奴叫妾。《书·费誓》：“逾垣墙，窃马牛，诱臣妾，汝则有常刑。”亦作为所属臣下的称谓。《左传·僖公十七年》：“男为人臣，女为人妾。”
哀家，是古时候的戏曲里，死了丈夫的皇后自称。 只有在丈夫去世以后，皇后或太后才可以“哀家”自称。
所以关系是自称哀家一般是自称寡人（也就是朕）的母亲。而奴家是属于平民。臣妾则是奴隶。