计算：1/2+1/3+2/3+1/4+2/4+3/4+...+1/2007+2/2007+...+2006/2007

Question

脱式计算，快点
1/2+1/3+2/3+1/4+2/4+3/4+...+1/2003+2/2003+...+2002/2003=

1/1+1/2+2/2+13+2/3+3/3+...+1/100+2/200+...+100/100=

Answer 1

解：
分组：
(1/2)，(1/3，2/3)，(1/4，2/4，3/4)，……
每一组的分母为组号+1，分子从1到组号，第n组的和为
1/(n+1)+2/(n+1)+...+n/(n+1)=(1+2+...+n)/(n+1)=[n(n+1)/2]/(n+1)=n/2

1/2+1/3+2/3+1/4+2/4+3/4+...+1/2007+2/2007+...+2006/2007=(1+2+...+2006)/2
=2006×2007/2
=2013021

同理：
1/2 +1/3+2/3+...+1/2003+2/2003+...+2002/2003=(1+2+...+2002)/2=2002×2003/2=2005003

分组：
(1/1)，(1/2，2/2)，(1/3，2/3，3/3)，……
每一组的分母为组号，分子从1到组号，第n组的和为
1/n +2/n+...+n/n=(1+2+...+n)/n=[n(n+1)/2]/n=(n+1)/2

1/1+1/2+2/2+13+2/3+3/3+...+1/100+2/200+...+100/100
=[(1+1)+(2+1)+...+(100+1)]/2
=[(1+2+...+100)+100]/2
=(5050+100)/2
=2575

Answer 2

原式=1/2+(1+2)/3+...+(1+2006)*2006/2/2007
=1/2+2/2+3/2+...+2006/2
=(1+2006)*2006/2
=2007*1003
=2013021
1/2+1/3+2/3+1/4+2/4+3/4+...+1/2003+2/2003+...+2002/2003
=1/2+(1+2)/3+....+(1+2002)*2002/2/2003
=1/2+2/2+...+2002/2
=(1+2002)*2002/2
=2005003

1/1+1/2+2/2+13+2/3+3/3+...+1/100+2/200+...+100/100
=1/1+(1+2)/2+....+(1+100)*100/2/100
=1+3/2+....+(100+1)/2
=(2+101)*100/2
=103*50
=5150

Answer 3

以分母为n，每一项为(n-1)/2，n=2~2007，原式=1006510.5

Answer 4

解：
分组：
(1/2)，(1/3，2/3)，(1/4，2/4，3/4)，……
每一组的分母为组号+1，分子从1到组号，第n组的和为
1/(n+1)+2/(n+1)+...+n/(n+1)=(1+2+...+n)/(n+1)=[n(n+1)/2]/(n+1)=n/2

1/2+1/3+2/3+1/4+2/4+3/4+...+1/2007+2/2007+...+2006/2007=(1+2+...+2006)/2
=2006×2007/2
=2013021

同理：
1/2 +1/3+2/3+...+1/2003+2/2003+...+2002/2003=(1+2+...+2002)/2=2002×2003/2=2005003

分组：
(1/1)，(1/2，2/2)，(1/3，2/3，3/3)，……
每一组的分母为组号，分子从1到组号，第n组的和为
1/n +2/n+...+n/n=(1+2+...+n)/n=[n(n+1)/2]/n=(n+1)/2

1/1+1/2+2/2+13+2/3+3/3+...+1/100+2/200+...+100/100
=[(1+1)+(2+1)+...+(100+1)]/2
=[(1+2+...+100)+100]/2
=(5050+100)/2
=2575