g(x)=1/3x^3-1/2x^2+3x-5/12+m+(x+n)/(2x-1) 则g(1/2011)+g(2/2011)+...+g(2010/2011)=?

Question

题设：对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”；任何三次函数都有拐点，且拐点就是对称中心
急！！！！求高手。。。

Answer 1

f(x)=1/3x^3-1/2x^2+3x-5/12
f'(x)=x^2-x+3
f''(x)=2x-1
令f''(x)=0得，x=1/2
f(1/2)=1/3*1/8-1/2*1/4+3/2-5/12=3/2-1/2=1
∴f(x)的拐点即对称中心为P（1/2,1)
h(x)=1/2+(x+n)/(2x-1)
=1/2+[(x-1/2)+(n+1/2)]/[2(x-1/2)]
=1+(n+1/2)/(2x-1)
∴h(x)关于P(1/2,1)对称
∴g(x)=f(x)+h(x)+m-1/2

若x1+x2=1,
则g(x1)+g(x2)=f(x1)+f(x2)+h(x1)+h(x2)+2m-1
=2+2+2m-1=2m+3
∴ g(1/2011)+g(2/2011)+...+g(2010/2011)
=(2m+3)+(2m+3)+..........+(2m+3) (共1005个）
=1005（2m+3)追问

能不能直接用f（x）+f(1-x)算？这样就用不到题设，而其实答案是2010，我觉得答案是不是有问题才来问的

追答

f（x）+f(1-x)
与f(x1)+f(x2)等效
x1+x2=1 即 x+1-x=1
f(x)的拐点即对称中心为P（1/2,1)
若x1+x2=1，则 f(x1)+f(x2)=2

∴h(x)关于P(1/2,1)对称
若x1+x2=1，则 h(x1)+h(x2)=2
∴g(x)=f(x)+h(x)m-1/2

追问

分是你的了。。。我想问我这样做的是不是用不到题设，也就是与拐点无关，那应该是答案错了吧！！

追答

令f''(x)=0得，x=1/2
f(1/2)=1/3*1/8-1/2*1/4+3/2-5/12=3/2-1/2=1
∴f(x)的拐点即对称中心为P（1/2,1)

用到了，三次函数的拐点是对称中心
拐点是二阶导的零点
f''(x)是二阶导呀

追问

可是与拐点无关啊。。。g（x）+g（1-x）=2m+3直接可以算出来 那m的值可知吗？最后一问！！

追答

利用拐点不需直接计算 g（x）+g（1-x）=2m+3

我是利用的对称，减轻计算难度

f(x)关于P(1/2,1)对称
∴x1+x2=1时，f(x1)+f(x2)=2

m值无法确定，当已知常数

Answer 2

这题好像没说明白呢，lz可以明确点么追问

完整题了。。。都在这，废话我倒是去掉了，比如某同学之类的。。。只有题设和问题可能你觉得题设和问题没关系吧。。我也看不出来有什么关系

追答

我现在怀疑定义的正确性，前面说的没错，最后一句，拐点就是对称中心，我有疑问，即使是对称中心，也最多是点对称，也就是关于该点奇对称的，但3次函数不一定是奇函数。如果要做的话，你可以试试求出g（x）的拐点，然后利用这个对称中心条件来构造命题做下去，不知道行不行

追问

三次函数应该只有1个对称中心 也就是说三次函数是关于那个对称中心对称的，这和是否为奇函数应该无关，画图应该可以看出来

追答

请问 如果中心点在原点，何为中心对称

追问

可是中心点不一定在原点。。。比如三角函数。。

追答

如果一点函数的中心点不在原点而在a（x1，y1）那么，该函数的奇函数性质表示为
f(x-x1)+f(x1-x)=2*y1在原点是x1=y1=0的特殊情况