一阶导数有界说明什么？

Question

一阶导数有界说明什么？如图，划线处一阶导数有界为什么就可以说明一阶导数是连续的？

Answer 1

图片中之所以提及导数有界，应该是为了取极限，利用无穷小量乘上有界量（一阶导数项）还是无穷小量，而不是利用一阶导数连续取极限

为了让车辆沿着道路行驶，我们在A处首先微微向左转动方向盘，这时汽车就会向左转弯，然后保持在车道内行驶。凭借我们在驾校训练得到的经验，我们不用多加思索就知道当汽车经过B点时，我们应该平稳回正方向盘，之后紧接着继续向右微微转动方向盘，这时汽车便能向右转弯，然后继续平稳地沿着车道驶过S形道路的后半段。（A~B之间方向盘的方向其实没有变化，也就是说“没有拐”。）

注意到B点发生了什么吗？在B点处我们将方向盘回正了。B点之前的AB段，汽车的方向盘是处于左转状态；而B点之后的BC段，汽车的方向盘是右转的状态。在B点处，方向盘经历了从偏左到回正再到偏向右的变化。也就是说，B点处汽车经历了从左转状态到右转状态的状态转化。这也正是拐点这个词的来历，它表示了汽车行驶状态在该处会发生变化，也就是拐了一个弯。（也就是说B点方向盘方向发生了变化，“拐了”）

拐了、拐了

需要注意的是，不论是AB段还是BC段，汽车的位置始终都在向左偏移。换句话说，随着汽车不断前进，汽车的位置越来越靠左了。当我们最终完全驶过S型路段之后，汽车的行驶方向未发生变化，但位置和之前相比更靠左方了。

D点和E点虽然是看上去汽车方向发生最大的偏转的位置，但其实方向并没有切换。在驾驶过程中，方向盘方向发生变化，同时，车轮方向发生变化的点是B点。

车轮偏转方向切换的点，我们把定义成拐点的话。从行车轨迹上来说，也就是行车轨迹形状的凹凸改变的点。所以数学上更严谨的定义是：

拐点：使函数凹凸性改变的点。

那么首先我们来解释一下，什么是凹凸。一般来说，凹凸是个定性的词汇，并不是个定量的词汇。我们一眼看上去是凹的，就是凹的，一眼看上去是凸的。

但是有的函数往往不会是一直凹的，也不会是一直凸的。

我们似乎很难找到那个由凸转凹的分界线，也很难找到由凹转凸的分界线。

Answer 2

首先要明确一下逻辑，图中的所讲的一阶导数在‘所定域内’[连续且有界]是两个并列的条件（结论），并没有因为‘一阶导数有界就可以说明一阶导数连续’的意思。
所谓一阶导数（在所定域内）连续的结论，是来自于（原函数）在所定域内（处处）可导（没有奇点和间断点，（原描述是在x=a的邻域内可导），所以，在（所定域）的一阶导函数是连续的。追问

嗯嗯 那麻烦你再告诉我一下一阶导数有阶这个条件在这里有什么用呢？

追答

有界就是有限的意思，是为了其后与（x-a)∣x--> a的积=0 做说明。有限的数与一个无穷小的积是无穷小

追问

你定义理解的好透彻啊！以后高数有问题找你可以吗

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Answer 3

图片中之所以提及导数有界，应该是为了取极限，利用无穷小量乘上有界量（一阶导数项）还是无穷小量，而不是利用一阶导数连续取极限。

Answer 4

因为可导，所以连续，是这个逻辑追问

这个我懂。可是他说一阶导数有界，让你求二阶导数，一阶导数有界这个条件有什么用呢？

我理解的是 一阶导数有界肯定与一阶导数连续有关系，如果一阶导数都不连续那不可能会有二阶导数的

追答

f和φ有什么关系么，你把题目贴上来，这里看不完整

有界是为了求上面的极限啊，因为有界，所以lim x-a (x-a)φ'(x)=0

追问

这道题我懂了 谢谢

Answer 5