帮忙做下这两道复变函数题

Question

如题所述

Answer 1

证明u(x,y)为调和函数即证明u满足
(a)u存在连续的二阶偏导数
(b)拉普拉斯方程
即u"xx(x,y)+u"yy(x,y)=0
证明:
因为
u"xx(x,y)=2
u"yy(x,y)=-2
u"xx(x,y)+u"yy(x,y)=0
所以
u(x,y)为调和函数
因为u(x,y)为调和函数，所以z(x,y)满足柯西-黎曼条件
即R-C条件
u'x=v'y
则u'x=v'y=2x+y
v'x=-u'y
-u'y=v'x=2y-x
dv=v'xdx+v'ydy=-u'ydx+u'xdy=(2y-x)dx+(2x+y)dy
对两边积分
可以使用不定积分法
v=∫(2y-x)dx+φ(y)=2xy-x^2/2+φ(y)+C
v'y=2x+φ'(y)=2x+y
则φ’(y)=y
φ(y)=y^2/2
v=2xy-x^2/2+y^2/2
由于f(0)=0
所以常数C=0
则u(x,y)=x^2-y^2+xy+i(2xy-x^2/2+y^2/2)