arctanx/1-x^2在x=0的幂级数展开怎么求啊？求过程

Question

如题所述

Answer 1

f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x)
-
1/(1+x)]
因为
1/(1-x)=∑(n=0,∞)
x^n，x∈(-1,1)
1/(1+x)=∑(n=0,∞)
(-x)^n，x∈(-1,1)
所以
f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞)
[1-(-1)^n]
x^n，x∈(-1,1)
写得再清楚一点，就是：
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞)
x^(2n+1)，x∈(-1,1)
其实，如果细心一点观察，就可以发现：
x/(1-x^2)=lim(n→∞)
x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞)
x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
这正是首项为x，公比为x^2的等比级数的收敛函数~~~
因此，直接可推：f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞)
x^(2n+1)，x∈(-1,1)
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