一个是美式英语，一个是英式英语，其实这两个“小学”严格上也没有什么区别，基本上可以互换。就像美国人说秋天fall，而英国人说autumn一样。
硬是要说点区别的话：
从课本上文章上看，elementary school似乎更为正式，多用于书面。
美国传统词典说：
elementary school is a school usually for the first six or eight grades.
elementary school通常提供最低的六年或八年教育的学校
primary school is a school usually including the first three or four grades of elementary school and sometimes kindergarten.
primary school包括初等小学的前三个或四个年级并且有时甚至包括幼稚园的学校