7.设随机变量X和Y相互独立,且分别服从区间[-5,1]和 [1,5] 上的均匀分布,求Z =

Question

如题所述

Answer 1

为了求随机变量Z的分布，我们首先需要知道随机变量X和Y的概率密度函数。
由于X和Y分别服从区间[-5,1]和[1,5]上的均匀分布，它们的概率密度函数均为:
fX(x) = 1/6, -5 <= x <= 1
fY(y) = 1/6, 1 <= y <= 5
现在我们来求Z = X + Y的概率密度函数。
由于X和Y相互独立，我们可以使用卷积定理来计算Z的概率密度函数。
根据卷积定理，Z的概率密度函数fZ(z)可以通过X和Y的概率密度函数的卷积计算得到：
fZ(z) = ∫[fX(x) * fY(z - x)] dx
代入X和Y的概率密度函数，我们有：
fZ(z) = ∫[-5,1] (1/6) * (1/6) dx
= 1/36 * ∫[-5,1] dx
= 1/36 * [x]_(-5)^(1)
= 1/36 * (1 - (-5))
= 1/36 * 6
= 1/6
所以，Z的概率密度函数为fZ(z) = 1/6，-4 <= z <= 6。
这意味着Z在区间[-4,6]上服从均匀分布，概率密度函数为1/6。