高中奥数高手进！ 求证任何长方体均不可能出现 棱长=表面积=体积 的情况（这里指的是数值上相等，不

Question

高中奥数高手进！
求证任何长方体均不可能出现 棱长=表面积=体积 的情况（这里指的是数值上相等，不考虑单位的问题）

Answer 1

设长方体长宽高为a,b,c，则

Answer 2

可以反证法，不需要高手
假设存在这样的长方体，则设其各棱为a、b、c，于是有：4(a+b+c)=2(ab+ac+bc)=abc,(a,b,c<>0)
则a=4(b+c)/(bc-4)=2bc/(bc-2b-2c)，则2(b+c)(bc-2b-2c)=bc(bc-4)
所以2b^2c-4b^2-4bc+2bc^2-4bc-4c^2=b^2c^2-4bc，所以2b^2c+2bc^2=b^2c^2+4b^2+4bc+4c^2
则2b+2c=bc+4b/c+4+4c/b，则bc-2b-2c+4+4b/c+4c/b=0，则(b-2)(c-2)+4(b/c+c/b)=0
所以b>2,c<2或b<2,c>2;

假设b>2,c<2，则由4(a+b+c)=2(ab+ac+bc)=abc,(a,b,c<>0)可得：
b=4(a+c)/(ac-4)=2ac/(ac-2a-2c)，又会推得：
(a-2)(c-2)+4(a/c+c/a)=0，所以a>2;

然后由4(a+b+c)=2(ab+ac+bc)=abc,(a,b,c<>0)可得：
c=4(a+b)/(ab-4)=2ab/(ab-2a-2b)，又会推得：
(a-2)(b-2)+4(a/b+b/a)=0，
而a>2,b>2,所以上式是不可能的，

因此b<2,c>2;
然后由4(a+b+c)=2(ab+ac+bc)=abc,(a,b,c<>0)可得：
c=4(a+b)/(ab-4)=2ab/(ab-2a-2b)，又会推得：
(a-2)(b-2)+4(a/b+b/a)=0，
所以a>2

则由4(a+b+c)=2(ab+ac+bc)=abc,(a,b,c<>0)可得：
b=4(a+c)/(ac-4)=2ac/(ac-2a-2c)，又会推得：
(a-2)(c-2)+4(a/c+c/a)=0，
而a>2,c>2,所以上式是不可能的，
所以不存在这样的长方体。本回答被网友采纳