第1个回答 推荐于2017-12-16
先假定A非奇异
利用块Gauss消去法可得
A B
C D
->
A B
0 D-CA^{-1}B
所以行列式是|A||D-CA^{-1}B| = |AD-ACA^{-1}B|
利用交换性得结论.
对于A奇异的情况, 把A换成矩阵多项式A+tI, 这样就可以用上述结论得到|(A+tI)D-CB|
注意该行列式是关于t的多项式, 要证明的式子在t=0的时候取, 相当于是多项式的常数项, 所以直接把t=0代进去就得到结论.追问
利用块Gauss消去法可得
A B
C D
->
A B
0 D-CA^{-1}B
所以行列式是|A||D-CA^{-1}B| = |AD-ACA^{-1}B|
利用交换性得结论.
对于A奇异的情况, 把A换成矩阵多项式A+tI, 这样就可以用上述结论得到|(A+tI)D-CB|
注意该行列式是关于t的多项式, 要证明的式子在t=0的时候取, 相当于是多项式的常数项, 所以直接把t=0代进去就得到结论.追问
t=0时那A+tI不就奇异了？
这和没有tI没有区别呀我觉得
追答det(A+tI)是关于t的非零多项式, 在有理函数域上就是一个非零元, 也就是说A+tI在有理函数域上可逆
如果放在数域上看, 你可以把t看成一个非零复数, 最后那步不用t=0而用t->0的极限来代替
线性代数你有好的书目可以推荐吗？
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