如何求二维连续随机变量的期望和方差？

Question

如题所述

Answer 1

设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)，并且p(x,y)=2-x-y，p(x,y)=0。
首先，由于p(x,y)是联合密度函数，因此对于任意的x,y，都有p(x,y)≥0。因此，对于任意的x,y，都有2-x-y≥0。
接下来，我们可以列出方程组：
2-x-y≥0 p(x,y)=0
将第一个方程带入第二个方程中，得到：
0=2-x-y => x+y=2
由于X和Y是连续型随机变量，因此它们的取值范围是(-∞,+∞)。根据x+y=2这个方程，我们可以得到X和Y的取值范围是(-∞,2]。
接下来，我们可以利用X和Y的取值范围来计算它们的期望值：
E(X)=∫(-∞,2]xp(x)dx E(Y)=∫(-∞,2]yp(y)dy
继续计算期望值，我们需要求出p(x)和p(y)。
设p(x)为X的边缘密度函数，p(y)为Y的边缘密度函数。则有：
p(x)=∫(-∞,2]p(x,y)dy p(y)=∫(-∞,2]p(x,y)dx
将p(x,y)=2-x-y带入，得到：
p(x)=∫(-∞,2](2-x-y)dy p(y)=∫(-∞,2](2-x-y)dx
设x=a为常数，则有：
p(x)=∫(-∞,2](2-a-y)dy p(y)=∫(-∞,2](2-x-a)dx
积分得到：
p(x)=2-a p(y)=2-a
因此，有：
E(X)=∫(-∞,2]xp(x)dx=∫(-∞,2]x(2-x)dx E(Y)=∫(-∞,2]yp(y)dy=∫(-∞,2]y(2-y)dy
继续积分，得到：
E(X)=∫(-∞,2]xp(x)dx=∫(-∞,2]x(2-x)dx=2∫(-∞,2]xdx-∫(-∞,2]x²dx E(Y)=∫(-∞,2]yp(y)dy=∫(-∞,2]y(2-y)dy=2∫(-∞,2]ydy-∫(-∞,2]y²dy
继续积分，得到：
E(X)=2∫(-∞,2]xdx-∫(-∞,2]x²dx=2[x²/2]^2-(x³/3)^2=4-8=-4 E(Y)=2∫(-∞,2]ydy-∫(-∞,2]y²dy=2[y²/2]^2-(y³/3)^2=4-8=-4
因此，X的期望值为-4，Y的期望值也为-4。
综上所述，二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)=2-x-y，p(x,y)=0时，X的期望值为-4，Y的期望值也为-4。