求正交变换X=Py，将下列二次型转化为标准形 f=5x(1)^2-8x(1)x(2)-4x(1)x(3)+5x(2)^2+4x(2)x(3)+2x(3)^2这怎

Question

求正交变换X=Py，将下列二次型转化为标准形 f=5x(1)^2-8x(1)x(2)-4x(1)x(3)+5x(2)^2+4x(2)x(3)+2x(3)^2这怎么做啊！请详细解答

Answer 1

解: 二次型的矩阵 A =
5 -4 -2
-4 5 2
-2 2 2

|A-λE| =
5-λ -4 -2
-4 5-λ 2
-2 2 2-λ

r1+2r3,r2-2r3
1-λ 0 2(1-λ)
0 1-λ -2(1-λ)
-2 2 2-λ

c3-2c2+2c2
1-λ 0 0
0 1-λ 0
-2 2 10-λ

= (1-λ)^2(10-λ)

所以 A 的特征值为 λ1=λ2=1,λ3=10.

(A-E)X=0 的基础解系为: a1=(1,1,0)',a2=(1,0,2)'
正交化得: b1=(1,1,0)',b2=(1/2)(1,-1,4)'
单位化得: c1=(1/√2,1/√2,0)',c2=(1/√18,-1/√18,4/√18)'

(A-10E)X=0 的基础解系为: a3=(-2,2,1)'
单位化得: c3=(-2/3,2/3,1/3)'

令P=(c1,c2,c3)=
1/√2 1/√18 -2/3
1/√2 -1/√18 2/3
0 4/√18 1/3

则 P为正交矩阵
X=PY是正交变换, 使
f = y1^2+y2^2+10y3^2