已知抛物线y=ax^2+bx+3(a不等于0）与x轴交与点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交与点C（0，3）。

Question

点e为第二象限抛物线上一动点，连接be ce 求四边形boce面积的最大值时e点坐标

Answer 1

把A（1，0）和B（－3，0）代入y＝ax²＋bx＋3，解得a＝－1，b＝－2
故抛物线的解析式为y＝－x²－2x＋3
过E作EH⊥x轴于H，设E（m，－m²－2m＋3），则HO＝－m，BH＝3＋m，EH＝－m²－2m＋3
四边形BOCE的面积＝△BHE的面积＋梯形CEHO的面积
＝1/2×(3＋m)(－m²－2m＋3)＋1/2×(－m²－2m＋3＋3)(－m)
＝－3/2m²－9/2m＋9/2
＝－3/2(m＋3/2)²＋63/8
故当m＝－3/2时，四边形BOCE的最大面积为63/8
希望我的回答对你有所帮助，不懂的话请继续追问。追问

除了可以分割成梯形和三角形，还可以分割成两个三角形吗？

追答

可以，没问题，多几种思路总是好的，还可以补全图形，你自己可以试一试，但是分割成梯形和三角形更简便。

追问

可是我分割两个三角形算出来的答案是不同的

追答

哦，不好意思，写错了。

要使面积最大，则抛物线在 E 处的切线与 BC 平行，

由于直线 BC 的解析式是 y=x+3 ，

设过 E 的切线方程为 y=x+b ，则由 -x^2-2x+3=x+b 得

x^2+3x+b-3=0 ，令判别式=9-4(b-3)=0 得 b=21/4 ，

此时上述方程的解是 x= -3/2 ，代入可得 y=x+b= -3/2+21/4=15/4 ，

即 E 坐标为（-3/2，15/4）。懂吧。

这个用另外的方法

四边形BOCE的面积=三角形BOC面积+三角形BCE面积

因为三角形BOC是固定的，因此当点E到直线BC之间的距离最大时，四边形BOCE的面积最大。

BC直线为：x-y+3=0，设点E为（e，-e^2-2e+3)，-3<e<0.

则点E到直线BC的距离为：|e+e^2+2e-3|/√2=|e^2+3e-3|/√2

当e=-3/2时，距离最大值为21/(4√2)

Smax=3*3/2+3√2* 21/(4√2)/2=99/8

此时点E为(-3/2,15/4)