把一个角平分成三等份,用尺规作图怎么办?

Question

如题所述

Answer 1

三等分角
古希腊三大几何问题之一。

三等分任意角的题也许比另外两个几何问题出现更早，早到历史上找不出有关的记载来。但无疑地它的出现是很自然的，就是我们自己在现在也可以想得到的。纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法，正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心，用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点，再分别以这两点为圆心，用一个适当的长作半径画弧，这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分。二等分一个已知角既是这么容易，很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢？这样，这一个问题就这么非常自然地出现了。

现已证明，在尺规作图的前提下，此题无解。

三等分角的历史：
公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境，发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之宫”，作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆，藏书75万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市。
亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。
一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。
过了几年，公主的妹妹小公主张大了，国王也要为她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有河，有桥，有南北门。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？

设，北门的位置为Q，南门的位置为P，卧室（圆心）为O，桥为K，
要确定北门的和桥的位置，关键是做出∠OPQ，设PO和河流的夹角是α
由 QK=QO，
得 ∠QKO=∠QOK
但是∠QKO=α+∠KPO，
又∠OQK=∠OPK
所以在△QKO中，
∠QKO+∠QOK+∠OQK
=（α+∠KPO）+（α+∠KPO）+∠KPO
=3∠KPO+2α=π

即∠KPO=（π-2α）/3

只要能把180-2α这个角三等分，就能够确定出桥和北门的位置了。解决问题的关键是如何三等分一个角。
工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置，可是他们用了很长的时间也没有解决。于是他们去请教阿基米德。
阿基米德用在直尺上做固定标记的方法，解决了三等分一角的问题，从而确定了北门的位置。正当大家称赞阿基米德了不起时，阿基米德却说：“这个确定北门位置的方法固然可行，但只是权宜之计，它是有破绽的。”阿基米德所谓的破绽就是在尺上做了标记，等于是做了刻度，这在尺规做图法则中是不允许的。
这个故事提出了一个数学问题：如何尺规三等分任意已知角，这个问题连阿基米德都没有解答出来。

Answer 2

理论上如果能三等分任意锐角，就可以三等分任意角，但是三等分任意锐角的图形中点线稍嫌拥挤，故本人改用三等分任意钝角（小于120度）代替。 如图，设角KCL是待三等分的任意钝角,射线CL和CK是其两边，任设一参考长度R。 1.以C为圆心，R为半径，作参考圆交CL的反向延长线于点A。 2.以C为圆心，2R为半径，作圆弧交CK于点B。 3.联结点A和点B，交圆于点D。 4.以点D为圆心，R为半径，作圆弧交线段BD于点E。 5.作射线CE。 6.以E为圆心，R为半径，作圆弧交射线CE于点F。 7.以F为圆心，R为半径，交射线CK于点G。 8.以点G为圆心，R为半径，交参考圆于点H。 9.角CGH即为所求的三等分角，即角CGH ＝角KCL的三分之一。 证明，从略，实际上，只要证明G，H，A三点共线，或者在作图的步骤8中直接联结点G和点A交参考圆弧于点H，然后证明线段GH的长度等于半径R即可，臧家贵先生已经用几何和代数的多种方法证明了此作图方法的正确性。 由于本人工作繁忙，没有更多的时间进行证明和验证，但是使用AUTOCAD所作的各种角度的三等分图形，其误差都小于1％，本回答被提问者采纳