初三数学题（二次函数）

Question

如图，抛物线c1:Y=ax²+bx-1与x轴交于两点A(-1,0),B(1,0)与y轴交于点C.
(1)求抛物线C1的解析式；
（2）若点D为抛物线C1上任意一点，且四边形ABCD为直角梯形，求点D的坐标：

Answer 1

(1)
A和B两点都在抛物线上
把两点坐标带入抛物线方程，得到下面的二元一次方程组：
a - b - 1 = 0
a + b - 1 = 0
可以解出：a = 1, b = 0
抛物线C1方程为 y = x²-1
（还可以用观察法：如图所给的抛物线关于y轴对称，所以b=0，再带入A或B其中一点的坐标即可以求出a）

(2)
C点是抛物线于y轴交点，C点坐标为（0，-1）
根据A、B、C三点的坐标，很容易可以看出∠ACB = 90°
直线CB的斜率为1，直线AC的斜率为-1

设D点坐标为（x, y）
四边形ABCD为直角梯形
所以：DA∥BC 或者 DB∥AC

若DA∥BC，则直线DA的斜率也是1，且过点A
设直线DA的方程为 y = x + m
代入A点坐标，解出 m = 1
所以直线DA的方程为 y = x +1
代入抛物线方程：x+1 = x²-1
解出：x = 2，或 x = -1（x = -1对应的是点A，所以舍去）
代回直线方程解出 y = 3
点D坐标为（2,3）

若DB∥AC
同理可以解出DB方程为 y = -x +1
带入抛物线方程解出 x = -2 或 x =1（对应点B，舍去）
把 x= -2 代回直线DB方程，解出 y = 3
点D坐标即为（-2,3）

综上，点D的坐标为（2,3）或（-2,3）

Answer 2

楼上的方法不错