垂线公理的定理1证明

Question

如题所述

Answer 1

已知直线AB和平面内一点C，过C作AB的垂线，求证这样的直线有且只有一条。
证明：当C在直线上时，作CD⊥AB，CD'⊥AB，不妨设CD在CD'的左边，则∠D'CB在∠DCB的内部。
∴∠D'CB<∠DCB
而∵CD⊥AB，CD'⊥AB
∴∠DCB=∠D'CB=90°，小的等于大的，这是不可能的事情。
∴假设不成立，即当C在AB上时，有且只有一条直线CD与AB垂直。
当C在直线外时，作CD⊥AB，CD'⊥AB，垂足分别为D、D'。
则∠CDB=∠CD'A=90°
根据同旁内角互补，两直线平行可知，CD∥CD'，这和CD与CD'交于C矛盾。
∴假设不成立，即当C在直线外时，有且只有一条直线CD与AB垂直。
这样就证明了，无论C是否AB上，命题都成立。