几何体体积的最值问题

Question

已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为？

Answer 1

先证明一个命题：AB，CD为异面直线，AB=a，CD=b，AB与CD的较量为h,AB 与 CD所成的角为α，则四面体ABCD的体积为(1/6)abhsinα,
在AB上任取一点E，过E作公垂线的平行线EF，过AB，EF作平面γ，首先，假定C∈γ，则C到AB的距离=h,过C作CG∥AB，得CD与CG所成的角=CD与AB所成的角=α，所以D到平面γ的距离=bsinα,从而四面体ABCD的体积=(1/6)abhsinα,
若C，D都不在γ上，则将线段CD沿直线CD移动，使C∈γ，利用祖暅原理，同样可得四面体ABCD的体积=(1/6)abhsinα。
现在回到本题：
首先AB与CD不共面，否则，不能构成四面体。
过AB作平面π1，使CD∥π1；过CD作平面π2，使AB∥π2，与球面相交于两圆O1，O2，半径分别为r1，r2，且r1≥1，r2≥1
设球心为O，O到π1，π2的距离分别为OO1=h1，OO2=h2，AB与CD所成的角为α，
利用前面证明的结果得到：
四面体ABCD的体积=(1/6)aa(h1+h2)sinα
在Rt⊿OAO1中，h1^2=4-r1^2, ,因为 r1≥1，所以 r1^2≥1, 故h1^2≤3,
即：h1≤√3，同理h2≤√3
四面体ABCD的体积=(1/6)2*2(h1+h2)sinα
≤(1/6)*4*2√3=(4√3)/3