一阶导数方程求表达式

Question

y'=(x+3y)/(3x+y)
求y的一般表达式。
给想法也行，有过程更好

Answer 1

解方程 y'=(x+3y)/(3x+y)

解：dy/dx=(1+3y/x)/(3+y/x)...............(1)
令y/x=u，则y=ux，dy/dx=u+x(du/dx)
代入(1)式得 u+x(du/dx)=(1+3u)/(3+u)
即有 x(du/dx)=(1+3u)/(3+u)-u=(1-u²)/(3+u)
分离变量得 (3+u)du/(1-u²)=dx/x
积分之，得3∫du/(1-u²)+∫udu/(1-u²)=∫dx/x
即有 -3∫du/(u²-1)-∫udu/(u²-1)=∫dx/x
-3[(1/2)∫[1/(u-1)-1/(u+1)]du-(1/2)∫d(u²-1)/(u²-1)=∫dx/x
积分之得 -(3/2)[ln(u-1)-ln(u+1)]-(1/2)ln(u²-1)=lnx+lnC
即有-(3/2)ln(u-1)+(3/2)ln(u+1)-(1/2)ln(u+1)+(1/2)ln(u-1)=ln(Cx)
化简得 -ln(u-1)+ln(u+1)=ln[(u+1)/(u-1)]=ln(Cx)
故得 (u+1)/(u-1)=Cx
将u=y/x代入即得通解 ：(y+x)/(y-x)=Cx

Answer 2

思路：整理成等式，利用全微分
原微分方程等价于
（3x+y）dy=(x+3y)dx
即
3xdy+3ydx +ydy+xdx=0
d（3xy）+ d(y²) +d(x²) =0
所以微分方程的解为
x² +y² +3xy=C

Answer 3

y'=(x+3y)/(3x+y)
y'=(1+3y/x)/(3+y/x)
dy/dx=(1+3y/x)/(3+y/x)
设u=y/x,dy/dx=u+x(du/dx)
u+x(du/dx)=(1+3u)/(3+u)
以下用分离变量法，直接积分即可。
这是其次方程。上面所用的方法是统一的。即设u=y/x,然后分离变量。

Answer 4

y'=(x+3y)/(3x+y)
令u=y/x, y=ux y'=u+xu'
u+xu'=(1+3u)/(3+u)
xu'=(1+3u)/(3+u)-u=(1-u^2)/(3+u)
(3+u)du/(1-u^2)=dx/x
(2/(1-u)+1/(1+u))du=dx/x
积分得：ln(1+u)-ln(1-u)^2=lnx+lnC
解为：1+u=Cx(1-u)^2
或：x+y=C(y-x)^2本回答被提问者采纳