证明y=e^(-x^2)是有界函数。（e =2.71828）

Question

如题所述

Answer 1

首先，函数y=e^(-x²)是偶函数，也就是函数图象关于y轴对称，因此只需考虑[0,+∞)上的情形即可
当x≥0时，x²是随着x的增大而增大的，
由指数函数y=e^x的性质可知，x越大，y=e^x值越大，所以对于本题
y=1/e^x²应该是随着x的增大而减少，
由y(0)=1，y(+∞)=lim 1/e^x²=0可知在[0,+∞)上函数y的值域是(0,1]，
综上，函数在x＜0时值域也为(0,1]
从而对于x∈R,有 y∈(0,1]，也就是y是R上的有界函数。
如果学习过导数，那么单调性可以通过求导数，判断符号来理解。