设f(x)在(a,b)内连续，a＜x1＜x2＜b,试证在(a,b)内至少有一点c,使得t1f(x1)+t2f(x2)=(t1+t2)c

Question

如题所述

Answer 1

这里t1,t2>0
证明：因f(x)在(a,b)内连续，故在[x1,x2]上连续。设f(x)在闭区间[x1,x2]上的最大值为M，最小值为m. 故m《[t1f(x1)+t2f(x2)]/(t1+t2)《M,
由介值性定理，在[x1,x2]至少存在c(c当然属于(a,b)），使f(c)=[t1f(x1)+t2f(x2)]/(t1+t2)
即：t1f(x1)+t2f(x2)=(t1+t2)f(c)