我大一。我们高数老师说无穷小替换法则不适用于加减法，可是我看到有些题加减法也用替换法则啊？

Question

请问老师的话怎么理解，无穷小替换法则在什么情况下不适用，什么情况下适用？能不能举出例子，谢谢！如满意，有追加。

Answer 1

等价无穷小代换在乘除法中可以用，在加减法中有时能用，有时不能用。对于高等数学这门课，记住加减法不能用就够了，一般不需要在加减法中用等价无穷小代换。我相信你所见到的加减法中的替换大多数并不是等价无穷小的替换，而是极限的四则运算。
如：lim[x→0] (1+cosx)(sinx)/x=lim[x→0] 2(sinx)/x=2，这里用的其实是四则运算法则
lim[x→0] (1+cosx)(sinx)/x=lim[x→0] (1+cosx)lim[x→0] (sinx)/x

等价无穷小代换在加减法中运用，例如下题：
例1：lim[x→0] (sinx+x)/tanx=lim[x→0] (x+x)/x=2，这个是等价无穷小代换在加减法中运用。
但加减法中的运用有时是不行的，如
例2：lim[x→0] (x-sinx)/x³，如将分子的sinx换作x，就错了。

为什么有时能换？有时不能换呢？这个问题需要用泰勒公式才能解释清楚，不知你有没学到泰勒公式。我先不详细讲了，我简单说一个原理，如果你需要更详细的解释，可以追问我。

原理：如果代换完的项在加减运算中被消去了，那么这个代换就不能做，如果没有被消去，就可以做。如例1中，sinx换成x后，x并没有消失，因此这个代换是可以的，例2中，sinx换成x后与前面的x相减刚好消去了，这个代换就不行。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

Answer 2

无穷小的替换是整体替代，有的时候是把有加减的试子作为一个整体，不知道我的回答你满意吗。