判断函数y=x+2/x+1单调性,并证明

Question

如题所述

Answer 1

本题可采用两种解法，定义法和微分法

解法一（微分法）

由y = (x+2)/(x+1)可知函数的定义域是x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）

对y = (x+2)/(x+1)求一阶导数是

y! = -[1/(x+1)2] ＜0

即函数y = (x+2)/(x+1), 定义x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）上

y! ＜0

∴函数y = (x+2)/(x+1), 定义x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）上

是减函数
解法二(定义法)

X1 , X2是定义在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的任意两个

数,且X1 < ,X2

由Y ＝(x+2)/(x+1)知

Y2-Y1＝[( X2+2)/( X2+1)]－ [( X1+2)/( X1+1)]

＝（X1 －X2）/( X1+1)×( X2+1)

Y2－Y1＝（X1 －X2）/( X1+1)×( X2+1)

⑴ 当X1 ,X2是定义在（-∞，-1）,X1 < ,X2时

X1 －X2＜0, ( X1+1)＜0, ( X2+1)＜0

∴Y2－Y1＝[（X1 －X2）/( X1+1)×( X2+1)]＜0

Y2＜Y1

即当X1 ,X2是定义在（-∞，-1）,X1 < ,X2时, Y2＜Y1

∴Y ＝(x+2)/(x+1),在（-∞，-1）是减函数

⑵当X1 ,X2是定义在（-1，+∞）,X1 < ,X2时

X1 －X2＜0, ( X1+1)＞0, ( X2+1) ＞0

∴Y2－Y1＝[（X1 －X2）/( X1+1)×( X2+1)]＜0

Y2＜Y1

即当X1 ,X2是定义在（-1，+∞）,X1 < ,X2时, Y2＜Y1

∴Y ＝(x+2)/(x+1),在（-1，+∞）是减函数

综合⑴ ，⑵得知

函数Y ＝(x+2)/(x+1) 定义在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数

Answer 2

三种方法,
第一种,定义法
设任意x1,x2属于R且≠-1，且x1<x2
f(x1) - f(x2) = (x1+2/x1+1) - (x2+2/x2+1)
通分后，得结果
第二种，求导，同楼上
第三种，观察法
原式 = 1+[1/(x+1）]
x越大，后边的分式越小，整体y就越小，所以是减，但是不是在R上，是x≠-1时本回答被网友采纳

Answer 3

单调递减，原因如下：y=x+2/x+1=(x+1+1)/x+1=1+1/（x+1）,X越大，1/（X+1）就越小，1+1/（x+1）也就越小，即y越小。所以是单调递减。
亲，明白没，希望对你有用哦！

Answer 4

开导得：y'=1-2/(x^2)
(-无穷，-根号2)，（根号2,+无穷）为增
（-根号2，+根号2）为减

Answer 5

原函数定义域为x≠0，设x为正，由均值不等式x+2/x≥2√2得x取√2时有最小值，得(0,√2]单调递减，(√2,+∞)单调递增，由双勾函数性质知(-√2,0)单调递减，(-∞,√2]单调递增