已知直线L和曲线f(x)=x^2-4x+4相切于点P,且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点

Question

已知直线L和曲线f(x)=x^2-4x+4相切于点P,且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，则当三角形ABO面积最大时，求切点P的坐标和直线L的方程，并求出三角形ABO面积的最大值

Answer 1

这题最好是数形结合，解答起来比较方便。

先对函数进行求导，导数即为直线L的斜率k。
f(x)‘=2x-4

设p点为[a，f(a)]，那么L 的直线方程为y-f(a)=f(a)' * (x-a)
将a代入式子得
y=(2a-4)x-a²+4
由于直线L与坐标轴的交点在X与Y轴的正半轴，
所以f(a)'＜0,4-a²＞0，得出 -2＜a＜2

再解出A,B两点的坐标，中间步骤省略了。
A [(a+2)/2，0]，B(0，4-a²)
所以△ABO的面积S=(a+2)*(4-a²)/4，a∈（-2，2）
然后求S的最大值。
这个要化成三次函数求极值
S’=-3/4*a²-a+1
令S'=0，得出a=-2或者a=2/3
根据经验，三次函数S在（-∞，-2）上为减函数，在[-2，2/3）上为增函数，在[2/3，+∞）为减函数。所以点（-2，2/3）为极大值。
即当a=2/3时，S最大。
所以P点为（2/3，16/9）

希望你能够懂